中学学物理时，看到给出的开普勒三大定律，和牛顿万有引力公式，感觉它们的形式实在不同。于是很佩服牛顿中开普勒定律等基础出发总结出万有引力的平方反比定律。

在经典力学的框架下，大概牛顿的平方反比定律比开普勒三大定律更加本质，那么一定可以从平方反比定律定律推出开普勒三定律吧。可惜中学时的我没有高等数学的工具。而现在学完高数的我有了工具。

一些约定

我们使用 $\dot x$ 标记表示变量 $x$ 关于时间 $t$ 的变化率。

我们采用柱坐标系，认为行星在 $r-\theta$ 平面上运动。 $\vec{e_r}$ 为径向向外单位向量，$\vec{e_\theta}$ 为切向单位向量。

以恒星位置为坐标原点，记 $\vec r$ 为行星位置矢量，$\vec v$ 为行星速度矢量，$\vec a$ 为行星加速度矢量。

柱坐标系下的速度与加速度

我们记行星坐标为 $(r,\theta)$，则有 $\vec r = r\vec{e_r} + \theta\vec{e_\theta}$ 。

由柱坐标系求导规律： $\dot{\vec{e_r}} = \dot{\theta} \vec{e_\theta} $；$\dot{\vec{e_\theta}=-\dot{\theta} \vec{e_r}}$

由速度定义 $\vec{v} = \dot{\vec r}$，得到 $\vec{v} = \dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_\theta}$

由加速度定义 $\vec{a} = \dot{\vec v}$，得到 $\vec{a} = (\ddot{r}-r{\dot{\theta}}^2)\vec{e_r} + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_\theta}$

力沿径向条件与 开普勒第二定律 （角动量守恒）

若力场方向沿径向，记 $\vec{\mathbf{F}} = F(r) \vec{e_r}$，则：

$$ \begin{cases} 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} &= 0 \quad&…(1)\\ \ddot{r} - r {\dot{\theta}}^2 &= \frac{F(r)}{m} \quad&…(2) \end{cases} $$

由 $(1)$ 式 $\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta}) = 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} = 0$， 即，角动量 $r^2\dot{\theta}$ 为常数，记 $r^2\dot{\theta}=h$。

因此，任取 $t_0$ ，行星从此时刻开始，在 $\Delta t$ 时间内扫过的面积为 $\int_{t_0}^{t_0+\Delta t} \frac{1}{2}r^2\dot{\theta}\mathrm{d}t = \frac{1}{2}h\Delta t$。也就是开普勒第二定律。

角动量守恒告诉我们，在相同轨道上，切向上的速率与到中心天体距离的乘积处处相同，这点在高中物理中还算常用。

平方反比定律与 开普勒第一定律 （椭圆定律）

由 $(2)$ 式，$\ddot{r} - r {\dot{\theta}}^2 = \frac{F(r)}{m}$，进行换元 $u = \frac{1}{r}$。

于是，使用求导的链式法则 $\dot{r} = - r^2 \dot{u} = - r^2 \dot{\theta} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta} = -h \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$

继续求导并使用链式法则，$\ddot{r} = -h\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{{\mathrm{d}\theta}^2} = -h^2u^2\frac{\mathrm{d}^2u}{{\mathrm{d}\theta}^2}$

带入 $(2)$ 式：$-h^2u^2\frac{\mathrm{d}^2u}{{\mathrm{d}\theta}^2} - h^2u^3 = \frac{F(\frac{1}{u})}{m}$。

带入万有引力公式 $F(r) = -\frac{1}{r^2}GMm$，并从等式两边约去 $-\frac{u^2}{h^2}$ ：$\frac{\mathrm{d}^2u}{{\mathrm{d}\theta}^2} + u = \frac{GM}{h^2}$。

得到一个标准的二阶常系数微分方程，在实数域上它的解为：$u=C_1’\cos\theta + C_2’\sin\theta + \frac{GM}{h^2}$。

也就是说，$r = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1+C_1\cos\theta+C_2\sin\theta}$，说明天体在一条以原点为焦点的圆锥曲线上。也就是开普勒第一定律。

圆锥曲线离心率 $e = \sqrt{C_1^2+C_2^2}$，$\varphi = \mathrm{atan2}(-C_1,-C_2)$，则 $r=\frac{h^2}{GM} \frac{1}{1+e\cos(\theta-\varphi)}$

若 $e<1$，轨道呈椭圆形，椭圆半长轴长 $a=\frac{h^2}{GM} \frac{1}{1-e^2}$，半短轴长 $b=\frac{h^2}{GM} \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$

开普勒第三定律（周期定律）

考虑求解椭圆面积，从第二定律中继续推理，$S = \int_0^T\frac{1}{2}\mathrm{d}t = \frac{1}{2}hT$

从椭圆定律中，可以得出 $S = \pi a b = \frac{\pi a^{\frac{3}{2}} h}{\sqrt{GM}}$。

两式联立，得到 $T = \frac{2\pi a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}$，也就是 $T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{GM}$。也就是开普勒第三定律。